Влажный кашель по утрам заложен нос

Здравствуйте! Ребенок 3,5 года. В сентябре пошли в сад. Сентябрь октябрь болели не переставая, насморк не проходил вообще. В ноябре лор поставил гнойный аденойдит, аденоиды 2 степени. Прошли лечение. Сейчас беспокоит влажный кашель по утрам, днем кашляет редко. Заложен нос, сопли были внутри, густые зеленоватые, плохо отсмаркивались по утрам, в течении дня не было совсем, только заложенность. Начала промывать физраствором, полидекса, амброгексал внутрь. Кашель сохраняется около месяца, носом дышит ночью нормально, состояния обычное. Может ли кашель быть от аденоидов и как правильно лечить? Заранее спасибо за ответ.